\chapter{Følger, net og filtre}

Vi har nu set en hel række sætninger der viser sammenhænge hvor man kan bruge net og filtre til at karakterisere forskellige egenskaber ved topologiske rum. Men vi har ikke berørt hvornår det er tilstrækkeligt at bruge talfølger. Her er præsenteret en sætning fra \cite{Kelley} der netop berører dette emne efterfulgt af en række eksempler på topologiske rum hvori man ikke kan nøjes med følger. 

\begin{defn}[Første tælleligt]
  Man siger at et topologisk rum, $(X, \tau)$, er \textbf{første tælleligt} hvis man til hvert $x \in X$ kan finde en tællelig omegnsbasis. 
\end{defn}

\begin{ex}
  For eksempel er ethvert metrisk rum første tællelig. Man kan for $x \in X$ vælge $\{B_{1/n}(x) \mid n \in \N\}$, hvor $B_{1/n}(x)$ er alle de punkter med afstand mindre end eller lig $1/n$ til x, som en tællelig omegnsbasis. 
\end{ex}

\begin{thm}
  Lad $(X, \tau)$ være et topologisk rum der er første tælleligt.
  \begin{enumerate}[i)]
  \item Lad $A \subseteq X$. Da vil $x \in \overline{A}$ hvis og kun hvis der findes en talfølge i $A$ der konvergerer mod $x$. 
  \item Lad $(x_n)_{n\in\N}$ være en talfølge i $X$. Da vil $x \in X$ være et fortætningspunkt hvis og kun hvis der findes en delfølge der konvergerer mod $x$.
  \end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
  \textit{i):} Lad $x \in \overline{A}$ og $\{U_j \mid j \in \N\}$ være en lokal omegnsbasis for $x$. Da kan vi konstruere en ny lokal omegnsbasis ved at lade $V_n = \bigcap_{i = 1, \dots , n}U_i$, hvor $V_n \supseteq V_{n+1}$ for hvert $n \in \N$. Så hvis vi med udvalgsafbildingen konstruerer følgen $(x_n)_{n \in \N}$ ved at $x_n = c(Vn \cap A)$ har vi konstrueret en følge i $A$ der konvergerer mod $x$. Den omvendte implikation følger ved at bemærke en følge specielt også er et net.
\textit{ii):} Lad $x \in X$ være et fortætningspunkt for en følge $(x_n)_{n \in \N}$. Da kan vi som ovenover finde en lokal omegnsbasis $\{V_n \mid n \in \N\}$ så $V_n \supseteq V_{n+1}$ for hvert $n \in \N$. Nu kan vi igen konstruere en følge ved for hvert $i \in \N$ at vælge et $n_i \geq i$ sådan at $x_{n_i} \in V_i$. Det medfører at $(x_{n_i})_{i \in \N}$ bliver en delfølge af $(x_n)_{n \in \N}$ der konvergerer mod $x$. 
\end{proof}

\begin{defn}
  Man siger et topologisk rum $(X, \tau)$ er følgekompakt hvis enhver følge i $X$ har en konvergent delfølge. 
\end{defn}

\begin{ex}[Et kompakt rum, der ikke er følgekompakt]\label{ex:komrum}
  Lad $I = [0,1]$ være det lukkede interval fra $0$ til $1$ udstyret med sportopologien, $\tau$, arvet fra den sædvanlige topologi på de reelle tal. Se så på følgende rum udstyret med produkttopologien: 

\[ I^I = \prod_{\alpha \in I} I_\alpha\]

Da $[0, 1]$ er kompakt med sportopologien giver Tychonoffs sætning at $I^I$ også bliver kompakt. Hvis $x \in I^I$ så svarer det til at x for hvert element i $I$ fastlægger en værdi i $I$, eller med andre ord $x$ bestemmer en afbilding $\morf{\phi}{I}{I}$. 

Produkttopologien på $I^I$ bliver da genereret af subbasen der består af 

\[
  \{p^{-1}_\alpha(U) \mid \alpha \in I \text{ og } U \text{ åben i } [0,1]\}
\]

Hvis vi for $k_1, \dots , k_n \in I$ har $U_{k_i} \subseteq I_{k_i}$ åben, vil snittet $p^{-1}_{k_1}(U_{k_1}) \cap \dots \cap p^{-1}_{k_n}(U_{k_n})$ svare til de funktioner $\morf{\phi}{I}{I}$ så $\phi(k_i) \in U_{k_i}$ for $i = 1, \dots n$. Det vil sige funktioner der kan antage vilkårlige værdier i hele $I$ på nær i endeligt mange punker. 

Lad nu $(x_n)_{n\in\N}$ være en følge i $I^I$ og da $I^I$ er udstyret med produkttopologien bliver den konvergent hvis og kun hvis vi har at for hvert $\alpha \in I$ er projektionen ned på $I_\alpha$ konvergent. Men hvis $x_n$ er et punkt i $I^I$ svarende til funktionen $\morf{\phi_n}{I}{I}$ så er projektion ned på $\alpha$ givet ved $\phi_n(\alpha)$. Det betyder $(x_n)_{n \in \N}$ konvergerer mod et $x\in X$ hvis og kun hvis den $(\phi_n)_{n\in\N}$ konvergerer punktvis mod $\alpha$. 

Lad nu følgen $(\phi_n)_{n \in \N}$ i $I^I$ være defineret ved at

 \[p_\alpha(x_n) = \phi_n(\alpha) = \text{det n'te ciffer i den binære udvidelse af } \alpha\]

Antag at $(\phi_n)$ har en konvergent delfølge, $(\phi_{n_k})$. Men det giver en modstrid da vi kan vælge et $\alpha \in I$ med egenskaben: 

\[
  \phi_{n_k}(\alpha) = \begin{dcases}
                                 0 &
                                 \text{for } k \text{ lige} \\
                                 1 & \text{for } k \text{ ulige}
                 \end{dcases}
\]
Dermed får vi at $\phi_{n_k}(\alpha)$ bliver følgen $\{0, 1, 0, 1 \dots\}$ der klart ikke er konvergent. Dermed har vi vist at $(\phi_n)$ ikke kan have en konvergent delfølge. 
\end{ex}

\begin{ex}[Følgekonvergens og aflukning.]
Lad os nu vise vi ikke generelt kan bruge følgekonvergens til at beskrive aflukningen af en mængde. Lad os arbejde videre med det topologiske rum fra ovenstående eksempel. \ref{ex:komrum}

Definer nu \[A = \{x \in I^I \mid \forall \alpha \in I \ : \ p_\alpha(x) = 0 \text{ på nær endeligt mange } \alpha \}\] 

Da har vi at $\overline{A} = I^I$: Lad $\morf{\phi}{I}{I}$ være givet og $U \in \OO(\phi)$. Det betyder at der findes en endelig mængde $\{\alpha_1, \dots , \alpha_n\} \subseteq I$ så vi kan finde $U_{\alpha_j}$ åbne i $I_{\alpha_j}$ for $i = 1, \dots n$ sådan at 
\[
   p^{-1}_{\alpha_1}(U_{\alpha_1}) \cap \dots \cap p^{-1}_{\alpha_n}(U_{\alpha_n}b) \subseteq U
\]
Så nu er det bare at vælge en funktion $\morf{\tilde{\phi}}{I}{I}$ der er nul på nær i $\alpha_j$ hvor vi skal vælge et element i $U_{\alpha_j} \, , \, j = 1 \dots n$ og så har vi fundet et $\tilde{\phi} \in A \cap U$. Dermed giver lemma \ref{lem:altaflukning} at $x \in \overline{A}$.

Omvendt, hvis $(\phi_n)_{n \in \N}$ er en følge i $A$ så kan du konstruere en følge af delmængder i $A$, $(U_n)_{n \in \N}$ hvor $U_n$ består af alle de elementer i $I$ hvor $\phi_n$ er forskellig fra nul. Konstruktionen af $A$ gør at hvert $U_n$ består af endeligt mange elementer så $\bigcup_{n \in \N}U_n$ vil være en tællelig forening af endeligt mange elementer, og dermed tællelig. Dermed har vi at en følge i $A$ ikke kan ramme elementer i $I^I$ der er forskelligt fra nul i overtælleligt mange punkter. 
\end{ex}
